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Matrizes – Álgebra Linear

Matriz Retangular do tipo m x n (lê-se “m por n”) é uma tabela de valores dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais).
Denotamos por aij ao elemento da linha i e da coluna j. 

Se A é uma matriz do tipo m x n, escrevemos:

Matriz Quadrada
Chamamos matriz quadrada de ordem n uma matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas. Exemplos:

Matriz Linha
Possui uma única linha, ou seja, é da forma 1 x n.
Exemplos:

 

Matriz Coluna
Possui uma única coluna, ou seja, é da forma n x 1.
Exemplos:

 

Matriz Nula (O)
É uma matriz quadrada onde todos os seus elementos são iguais a zero.
Exemplos: 

 

Matriz Identidade (I)
É uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais a unidade, ou seja:

Matriz Simétrica
É a matriz que se iguala a sua transposta, ou seja:

Exemplos:

 

 

Matriz Anti-simétrica
É a matriz oposta da simétrica, ou seja:
Exemplos: 

Operações entre Matrizes

Soma e Subtração de Matrizes
Só podemos realizá-las entre matrizes do mesmo tipo.

Multiplicação de Matrizes
A multiplicação entre matrizes possui a seguinte regra: o número de colunas da 1ª matriz deverá ser igual ao número de linhas da 2ª matriz, ou seja:

Propriedades da Adição de Matrizes

A + B = B + A (comutatividade)
A = (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
A + O = O + A = A (elemento neutro é a matriz nula)
A + (- A) = O (-A é a matriz oposta)

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

(AB)C = A(BC) = ABC (associatividade)
(A + B)C = AB +AC (distributiva à direita)
A(B + C) = AB + AC (distributiva à esquerda)
k(AB) = (kA)B = A(kB) (k é um escalar)
A.I = I.A = A (elemento neutro é a matriz identidade)

A . O = O. A = O

a) -112
b) -18
c) – 9
d) não existe
e) nda

Cuidado! De maneira geral A.B diferente de B.A (uma armadilha fatal para muitos vestibulandos!!! )

 

(UFRJ) Considere as matrizes 


Seja A² = A . A e B² = B. B
Determine a matriz C = A² – B² – (A + B) (A – B).

Solução: Observe que C = A² – B² – A² + AB – BA + B² = AB – BA, pois A.B diferente de B.A.
Então teremos que: