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Triângulos – Geometria Básica

Classificação quanto aos ângulos
Retângulo possui 1 ângulo interno reto (= 90º).
Acutângulo possui os ângulos internos agudos (< 90º).
Obtusângulo possui 1 ângulo interno obtuso (> 90º).

Classificação quanto aos lados
Eqüilátero possui 3 lados congruentes.
Isósceles possui 2 lados congruentes.
Escaleno possui 3 lados diferentes.

 

Condição de Existência de Triângulos 

Em qualquer triângulo, qualquer lado (a, b ou c) é menor que a soma dos outros dois e maior que o módulo da diferença, ou seja:

|b – c| < a < b + c
|a – c| < b < a + c
|a – b| < c < a + b

 

(UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre canudos com 8cm, 10cm e 12cm de comprimento. A base de cada pirâmide será formada por 3 canudos que têm a mesma medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores.

Veja o modelo abaixo:

 

A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir é:

a) 10
b) 9
c) 8
d) 7

Solução: A base x da pirâmide deve estar entre os seguintes valores, de acordo com a desigualdade triangular: 

12 – 8 < x < 12 + 8 → 4 < x < 20
10 – 8 < x < 10 + 8 → 2 < x < 18
12 – 10 < x < 12 + 10 → 2 < x < 22

As 3 sentenças têm em comum 4 < x < 18; de 5 a 17 são (17 – 5) + 1 = 13 valores inteiros; retirando os valo-res 8, 10 e 12 teremos 13 – 3 = 10 valores.
Letra a)

Dica: Oposto ao maior lado do triângulo sempre estará o maior ângulo e vice-versa.

 

(UFMG) Observe a figura:
Com bases nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o maior segmento é:

 

a) AB
b) AE
c) EC
d) BC
e) ED

 
Solução: AC = AE são os maiores lados do ACE; como AC está de frente para o ângulo de 55º do ABC, e 65º é ângulo oposto do lado AB, temos que o maior lado (dos 2 triângulos) é AB.
Letra a)  

 

Lei Angular de Tales
A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º.

Dica: O ângulo externo de qualquer triângulo é igual a soma dos 2 ângulos internos não adjacentes a ele.

 

(FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então:

a) y = 3x b) y = 2x
c) x + y = 180º
d) x = y e) 3x = 2y

Solução: Pela figura abaixo vemos: 

AB = BD → ABD é isósceles; B = 2x, pois é ângulo externo do ABD; C = 2x, pois como BD = CD o triân-gulo CBD é isósceles. 

Olhando para o ângulo raso D, temos que: 
x + 180º – 4x + y = 180º y = 3x 
Letra a) 

 

 

Principais Cevianas de um Triângulo
Altura: Segmento que une um vértice com um ponto suporte do lado oposto, sendo este segmento perpen-dicular ao suporte. ORTOCENTRO (ponto H) é o ponto de encontro das alturas.

 

Mediana: Segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. BARICENTRO (ponto G) é o ponto de encontro das medianas.

 

Bissetriz Interna: Segmento que tem o vértice a um ponto do lado oposto, dividindo o ângulo interno em duas partes congruentes. INCENTRO (ponto I) é o ponto de encontro das bissetrizes internas e o centro do círculo inscrito no triângulo.

 

Cuidado! MEDIATRIZ (não é uma ceviana!).é uma reta que divide o segmento em duas partes congruentes, sendo perpendiculares ao segmento
CIRCUNCENTRO (ponto C) é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo, e este é o centro do circulo circunscrito ao triângulo (importante: é um ponto eqüidistante dos 3 vértices!).