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Razão e proporção

A proporção entre grandezas é usada tanto na confecção de mapas quanto no cálculo da concentração de gases do efeito estufa na atmosfera

Aula 03 - pag 19 - 1

ORDEM NATURAL Quando brota, um ramo de samambaia cresce numa curva que segue a chamada proporção divina

Um dos principais domínios da matemática é usar a lógica para estabelecer relações entre valores e grandezas. Relações entre grandezas são aquelas em que o valor de uma grandeza varia, dependendo do valor de outra. Fazemos relações entre grandezas em diversas atividades do cotidiano, como a energia elétrica consumida a cada dia e a conta que chega no final do mês, ou a proporção entre os ingredientes de uma receita.

A principal razão entre grandezas é aquela que envolve o conceito de proporção, quando uma grandeza cresce ou decresce proporcionalmente a outra: quanto mais tempo você passa no banho, maior é a quantidade de água gasta. E se uma barra de chocolate for dividida entre amigos, quanto maior o número de amigos, menor será o pedaço que caberá a cada um.

Aula 03 - pag 20 - 1

ARTE SOB MEDIDA As figuras que Michelangelo desenhou e pintou na Criação de Adão, no teto da Capela Sistina, seguem um ideal de proporções do corpo humano

Diretamente proporcionais

Algumas grandezas mantêm uma relação diretamente proporcional. Isso ocorre quando uma grandeza cresce e a outra também cresce. No banho, o volume de água consumida cresce em proporção direta ao tempo em que o chuveiro permanece ligado. Veja:

Um chuveiro libera 12 litros de água por minuto. Quantos litros uma pessoa gasta num banho de 5 minutos?

Podemos construir uma tabela com valores da quantidade de água gasta em função do tempo de duração de um banho:

 

Repare: quanto mais tempo se passa no banho, mais água se consome. E esse consumo aumenta de maneira proporcional: para 1 minuto, 12 L, para 2 minutos, 2 . 12 L = 24 L, e assim por diante. Em 5 minutos, o consumo é de 5 . 12 L = 60 L.

Em resumo, se dobrarmos o tempo de banho, a quantidade de água consumida também dobra; se o tempo for triplicado, o gasto de água também é triplicado.

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A PROPORÇÃO NAS ESCALAS

Uma das principais aplicações práticas da noção de proporção é a confecção de mapas. Todo mapa representa uma realidade reduzida. E essa redução obedece à regra de proporção, nas medidas lineares (distâncias). Veja o mapa ao lado: Repare na indicação da escala, no canto inferior direito. Cada trecho do tamanho do segmento ali representado vale 459 km. A proporção se mantém, também, na área, só que elevada ao quadrado. Um quadrado de 459 km de lado tem área de 459 . 459 = 210 681 km2. Se dobrarmos o tamanho dos lados do quadrado para 918 km, teremos uma área quatro vezes maior: A = 918 . 918 = 842 724 km2.

Inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce e a outra cai, sempre uma em proporção à outra. Veja o exemplo:


Todas as provas em sua escola valem 100 pontos. Mas as provas podem ter diferentes números de questões. Assim, cada questão terá um valor diferente, dependendo da prova. Quanto maior o número de questões, menor o valor de cada questão. Para 100 questões, o valor de cada uma é de 1 ponto. Já numa prova de 50 questões, cada uma deve valer 2 pontos, e assim por diante. Numa tabela, temos:


Repare que à medida que a quantidade de questões aumenta, o valor de cada uma diminui de maneira proporcional. Quando uma das grandezas dobra, a outra cai pela metade, quando uma cai para 1/4, a outra é quadruplicada.

Regra de três

Qualquer relação de proporcionalidade direta entre grandezas pode ser encontrada pela regra de três. Para isso, basta conhecer um valor e a relação entre dois outros valores (a e b). Veja:

a – b

x – y

Lemos: a está para b assim como x está para y.

Para encontrar a proporção entre esses valores, multiplicamos em cruz:

x . b = a . y

Se você conhece a, b e x, descobre o valor de y:

A regra de três também funciona para grandezas inversamente proporcionais. Com uma diferença importante: neste caso, não multiplicamos em cruz, mas linha a linha.

No exemplo das provas acima, se para 100 questões cada uma vale 1 ponto, quanto valerá cada questão se a prova for composta por apenas 40 questões?

Montando a regra de três:

Para 100 questões cada uma vale 1 ponto

Para 40 questões cada uma vale x pontos

Assim, 1 . 100 = 40 . x

x = 100 : 40 = 2,5 pontos

 Este é o valor de cada questão numa prova com 40 questões.

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REGRA DE TRÊS

Seu chuveiro deixa cair 12 L de água por minuto. Quanto você economizara de água se reduzir em 30 segundos o tempo do banho?

A regra de três:

1 min – 12 L

30 seg – x L

Antes de resolver a regra de três, vamos uniformizar as unidades minuto e segundo. Precisamos adotar uma única. Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos, então 30 segundos valem 0,5 minuto. Montando de novo a regrinha de três:

1 min – 12 L

0,5 min – x L

Fazendo a multiplicação em cruz, obtemos:

1 min – 12 L

 0,5 min – x L

1 . x = 0,5 . 12 → x = 6 L

A cada 30 segundos de redução do tempo de banho, são economizados 6 L de água.

Da mesma forma, você pode descobrir pela regra de três quantos minutos dura um banho em que são consumidos 40 litros de água. Novamente multiplicando em cruz:

1 min – 12 L

x min – 40 L

12 . x = 40 . 1 → x = 40/12 → x = 10/3 min

Transformando minuto em segundo, ficamos com

x = 10/3 . 60 seg x = 600/3

x = 200 seg 3min20seg.

Uma regra de três pode ser construída a partir de qualquer par de valores relacionados. No caso do chuveiro, chegaríamos ao mesmo tempo de 3min20seg se partíssemos do consumo, por exemplo, em 2 minutos. Veja:

2 min – 24 L

x min – 40 L

x . 24 = 2 . 40 = 80/24 = 10/3 min 3min20 seg

Razão

Em alguns casos, a proporção entre duas grandezas é expressa como razão – a divisão de dois números, a por b. Nesse caso, a razão pode receber um nome especial. É o caso de porcentagem, densidade ou partes por milhão (abreviadamente, ppm).

Densidade

Densidade é uma grandeza física – o valor obtido da divisão da massa pelo volume de um material. A densidade de uma substância ou mistura é dada pela razão d = m/V, em que m é a massa e V, o volume. A unidade de medida para densidade pode ser g/cm3, g/L ou kg/L. A densidade de qualquer substância é medida em laboratórios e utilizada como forma de avaliar o nível de pureza do material. Por exemplo, quando técnicos da ANP (Agência Nacional do Petróleo) fazem fiscalização nos distribuidores ou postos de combustível, eles medem a densidade de amostras da gasolina ou do etanol dos tanques e das bombas. Se tiver havido acréscimo de água ou outra substância qualquer, a densidade se altera – o que compromete a qualidade do combustível.

QUE ISSO TEM A VER COM A FÍSICA?

A densidade de um material depende de seu estado físico, da temperatura e da pressão a que ele está submetido. Mas não depende da quantidade ou da massa. Ou seja, se 1 kg de determinada substância ocupa um volume de 2 L, então, no mesmo estado físico e nas mesmas condições de temperatura e pressão, 2 kg ocuparão 4 L.

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DENSIDADE

Sabendo que a densidade do etanol e de 0,8 g/ml, qual a massa de 200 litros do combustível? A densidade – a razão entre a massa e o volume – permanece constante se a medida for feita a mesma pressão e temperatura, não importa se trabalhamos com 1 mL ou 1 000 L de etanol. Por outro lado, a relação entre volume e massa e diretamente proporcional. Então, podemos montar a regra de três:

0,8 g – 1 mL

x g – 200 L

A primeira coisa a fazer e uniformizar as unidades. Você sabe que 1 L = 1000 ml. Então, temos:

0,8 g – 1 mL

x g – 200 000 mL

Esta e uma relação diretamente proporcional. Multiplicando em cruz, temos:

x . 1 = 0,8 . 200 000 → x = 200 000 . 0,8 → x = 160 000 g

Transformando g em kg e mL em L, novamente, temos que 200 L de etanol tem massa de 160 kg.

Porcentagem

A porcentagem também pode ser calculada por regra de três. Esse tipo de cálculo aparece quando se deseja comparar uma parte com o todo. É fácil entender. Veja:

  • Você tem um inteiro – digamos uma barra de chocolate;
  • Se dividimos essa barra em cem pedaços menores, a barra inteira representa todas as 100 partes – ou seja, a razão 100/100;
  • Uma única parte representa 1 parte sobre 100 – ou seja 1%; 2 partes, 2/100 = 2%. E assim por diante. Daí a palavra “por cento”.

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PORCENTAGEM

Uma caixa d’água com capacidade 2 000 litros contem 260 litros de água. Qual a porcentagem do volume da caixa ocupado por essa água?

O “inteiro” (100%) e a capacidade total da caixa: 2 000 L. Queremos descobrir a quantos por cento correspondem os 260 L de água que ela contem. Pela regra de três, temos:

 2 000 L – 100%

260 L – x%

2 000 . x = 260 . 100 → x = 26000%/2000% = 13%

 E se a caixa for reabastecida ate ficar com 520 L de água?

De novo, a regra de três:

2 000 L – 100% 520 L – x%

Fazendo as contas, chegamos ao resultado:

520 L de água correspondem a 26% da capacidade total da caixa.

Repare: 520 L são o dobro de 260 L. Do mesmo modo, 26% e o dobro de 13%. Essa relação de proporção e valida para qualquer valor dado em porcentagem.

Concentração

A concentração de uma solução é uma grandeza química que mede a proporção entre a quantidade de soluto e a quantidade total de solução, em massa (mg/kg) ou em volume (cm3/m3 ou L/106L).

Quando a quantidade de soluto é muito menor que o volume total da solução, ou da mistura, em vez de porcentagem costuma-se usar a unidade partes por milhão (ppm). Nas questões relacionadas ao aquecimento global, a medida de concentração dos gases do efeito estufa na atmosfera é dada nessa unidade (veja o Saiu na imprensa à baixo).

O QUE ISSO TEM A VER COM A QUÍMICA?

A concentração é tema do estudo de misturas e soluções. A concentração pode ser dada em termos de massa, de volume e, também, mol (número de átomos, moléculas ou íons).

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CONCENTRAÇÃO

Estima-se que 0,00014% do ar, em volume, e composto de metano, um gás inflamável, resultante da digestão de matéria orgânica. Veja que esse valor em porcentagem e muito baixo. Este e um caso em que contém aumentar a base de calculo de porcentagem para partes por milhão (ppm). Veja:

0,00014% = 0,00014/100

Queremos saber quanto 0,00014/100 representa em 1 milhão. 1 milhão e um numero grande, que pode ser escrito como uma potencia: 106. Pela regra de três:

0,00014 – x

100 – 1 . 106

100 x = 0,0014 . 106

x = 0,00014 . 1000000 /100 → x = 1,4

Portanto, 0,00014% equivalem a 1,4 partes por milhão. E em 106L de ar existem 1,4 L de metano.

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CONCENTRAÇÃO DE CO2 NA TERRA ATINGE NOVO RECORDE MENSAL

Cientistas da Administração Oceânica e Atmosférica Nacional dos EUA (NOAA, em inglês) anunciaram nesta quinta-feira que a concentração global de gás carbônico (CO2) chegou a uma marca mensal acima de 400 ppm (partes por milhão), a níveis que não eram registrados na Terra ha mais de 2 milhões de anos.

De acordo com o cientista-chefe do Global Greenhouse Gas Reference Network da NOAA, Pieter Tans, trata-se de uma “marca significativa”. O registro recorde de CO2 ocorreu pela primeira vez no Ártico, em 2012, e no Havaí, em 2013.

 — Era apenas uma questão de tempo para que tivéssemos uma media de 400 ppm globalmente — afirmou Tans.

Ainda segundo o pesquisador, o nível de CO2 na Terra aumentou mais de 120 ppm desde a era pré-industrial.

— Metade dessa elevação ocorreu desde 1980 — afirma ele.

A NOAA coleta dados globais a respeito da concentração de gás carbônico em amostras de ar coletadas de cerca de 40 locais ao redor do mundo, incluindo algumas ilhas remotas.

O Globo, 7/5/2015

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A PROPORÇÃO DIVINA

Por mais que pareça livre e desordenada, a natureza tem muitas formas que obedecem a regras rígidas de proporção. A espiral de uma folha de samambaia crescendo, como a da foto na pag. 19, por exemplo, segue uma curva que se abre unindo vértices opostos de quadrados cada vez maiores. As medidas dos lados desses quadrados seguem sempre a mesma sequência de proporção: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… O mesmo acontece com a concha dos caracóis.

Esta e a sequência de Fibonacci. Nela, cada numero e a soma dos dois termos que o antecedem: 2 e a soma 1 + 1; 3 e a soma de 2 + 1; 5 e a soma 3 + 2, e assim por diante.

Além disso, a divisão de um termo por seu antecessor sempre da um numero próximo a 1,6. E quanto mais a frente da sequencia estiverem os termos, mais a proporção se aproxima desse valor.

Essa proporção, chamada proporção áurea ou divina, foi adotada por pintores e escultores, como o italiano Leonardo da Vinci, em seu quadro mais famoso, Mona Lisa.

 

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