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Equação e Sistemas 2º Grau – Álgebra Básica

Toda equação com a forma .

Suas raízes são obtidas pela fórmula de Báskara

onde  é chamado discriminante da equa-ção, pois detalha uma das três situações a seguir: 

 

Equação a partir da Soma e Produto das Raízez

Também podemos achar as raízes através dos valores da soma e do produto delas. Quando a = 1, toda equação do 2º grau assume a seguinte estrutura: 

onde a soma (S) e o produto (P) são calculados pelas fórmulas abaixo:

Soma das Raízes (S):

Produto das Raízes (P):

 

Dica: Qualquer expressão com as raízes da equação do 2º grau podem (e devem) ser expressas pela soma e/ou produto das raízes (basta uma “manipulação algébrica” na expressão).

 

 

Exemplo:
Sejam r e s as raízes da equação:

O valor numérico da expressão (r + s + 1)(r + s – 1) é:

a) 2/7
b) 3/7
c) 9/7
d) 4/3
e) 2

 

 

 

(FUVEST) A soma e o produto das raízes da equação do 2º grau (4m + 3n)x² – 5nx + (m – 2) = 0 valem, respectivamente, 5/8 e 3/32.

Então m + n é igual a:

a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5

 

 

 

 

Sistemas do 2º grau
Quando o sistema possui a forma 

e onde resolvendo esse tipo de sistema, acabaremos caindo em uma equação do 2º grau.

 

Exemplo
A área de um retângulo é igual a 32 cm². Se a altura mede 4 cm a menos que a base, qual a medida da base do retângulo?

Solução: Chamando a base e a altura por B e h, res-pectivamente, teremos: B. h = 32 e H = B – 4
B.(B – 4) = 32 portanto B² – 4B – 32 = 0 → B = 8 e h = 4cm

Dica: Muito comum problemas do 2º grau envolvendo partilha de dívida entre pessoas; sempre podemos considerar implicitamente tratarem-se de divisões exatas.

 

 

(UNESP) Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil (notebook) que custa R$ 3.250,00. Alguns dias depois, mais três pes-soas se juntaram ao grupo, formando um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador pelo número de pessoas que estão com-pondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa pagaria R$ 75,00 a menos do que o inicialmente pro-gramado para cada um no primeiro grupo. O número x de pessoas que formavam o primeiro grupo é:

a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13

 

Solução: Chamando x o número de estudantes e y a quantia a ser paga por cada um, teremos:

x.y = 3250 (I) e (x + 3).(y – 75) = 3250 (II)


(II) xy – 75x + 3y + 225 = 3250 portanto 75x – 3y = 225 (÷ 3)

25x – y = 75 → y = 25x – 75 Substituindo em (I), temos:

(I) x(25x – 75) = 3250 portanto 25x² – 75x – 3250 = 0 (÷ 25)

x² – 3x – 130 = 0 de onde tiramos x = – 10 (não serve) e x = 13 estudantes.
Letra e)