O problema simples da matemática que pode não ter solução

Aviso aos estudantes: não tentem resolver o problema de matemática que vamos mostrar aqui! Vocês poderão ficar malucos como muitos estudiosos, cientistas e matemáticos. O problema é considerado “perigoso” por muitos, porque é apaixonante, envolvente, mas não tem solução. Estamos falando da famosa Conjectura de Collatz.

De onde surgiu essa tal de Conjectura de Collatz? Em 1937, com o matemático alemão Lothar Collatz. Ele foi o primeiro a propor esse cálculo insolúvel. Depois outros estudiosos tentaram decifrá-lo ao longo de décadas, por isso, é conhecida também por outros nomes, como Conjectura de Ulam, Algoritmo de Hasse, Conjectura de Thwaites, Problema de Kakutani, Problema de Siracusa, Conjectura 3n +1, e até como Números de Granizo.

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Mas afinal, o que é a Conjectura de Collatz?

Os cálculos são muito simples e envolvem apenas duas regras. Escolha um número natural. Se for ímpar, multiplique por 3 e adicione 1; se for par, divida por 2. Proceda da mesma forma com o resultado x: se x é ímpar, você calcula 3x + 1; caso seja par, calcule x/2. Repita esses cálculos tantas vezes quanto possível. De acordo com a conjectura, o número final sempre será o 1.

Quer ver um exemplo na prática? Vamos começar o cálculo com o número 5:

5 x 3 + 1 = 16/2 = 8/2 = 4/2 = 2/2 = 1

Neste caso, o processo do cálculo levou cinco etapas.

O que torna o problema intrigante é que não importa com qual número comece, sempre chegará a um ciclo de três números finais: 4, 2 e termina em 1. Mas será que funciona mesmo para todos os números naturais, afinal, eles são infinitos? Essa pergunta é o que move os estudiosos da conjectura.

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Chegando perto de desvendar esse enigma…

O maior progresso para desvendar o mistério da Conjectura de Collatz foi feito, em 2019, pelo medalhista Terence Tao, da Universidade da Califórnia, em Los Angeles (EUA).

“Se você selecionar, aleatoriamente, um número natural como valor inicial, ele tem 100% de probabilidade de terminar em 1. Isso é o mais próximo que se pode chegar da Conjectura de Collatz sem realmente resolvê-la”, disse Tao em uma palestra em 2020, citada na publicação Scientific American. Mas é apenas uma estatística, sem comprovação científica.

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Qual foi o maior número testado até hoje?

Em 2020, com o uso de um supercomputador, o maior número testado, usando a Conjectura de Collatz, foi o 268. Todos os cálculos convergiram para o ciclo 3 1. Acima desse número, estudiosos afirmam que, se existir um ciclo, terá que ser gigantesco e composto por, pelo menos, 186 bilhões de números! Podem ainda existir números muito maiores, que levem a dinâmica ao infinito. Mas, por enquanto, é um mistério.

Conspirações na Guerra Fria com a Conjectura de Collatz

Há alguns boatos de que, na época da Guerra Fria, nos anos 60, a Conjectura de Collatz parecia ser uma conspiração soviética para distrair os matemáticos e cientistas norte-americanos que se dedicavam, arduamente, a encontrar alguma solução para o cálculo, mas sem sucesso. Manon Bischoff (físico teórico e editor da publicação Spektrum) conta mais detalhes sobre isso em um artigo publicado na revista Scientific American: 

“De acordo com o matemático Jeffrey Lagarias, o estudioso Shizuo Kakutani disse a ele que, durante a Guerra Fria, por cerca de um mês, todos na [Universidade] de Yale trabalharam nos cálculos, mas sem resultado. O mesmo aconteceu na Universidade de Chicago. Na época, foi feita uma piada de que esse problema era parte de uma conspiração para desacelerar a pesquisa matemática nos Estados Unidos”.

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