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Pirâmides – Geometria Espacial

Chamamos de pirâmide ao poliedro que possui todos os vértices em um plano, chamado plano de base, exceto um, denominado vértice da pirâmide. 

 

Pirâmide Regular
Quando a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro desta. Em uma pirâmide regular as arestas laterais são iguais e consequentemente as faces laterais são triângulos isósceles iguais. 

 

Elementos da Pirâmide

AB – aresta da base
VA – aresta lateral
VO – altura
VM – apótema
OM – apótema da base
O A – raio da circunferência circunscrita (R)

As relações entre os elementos de uma pirâmide regular através dos triângulos retângulos conforme indicados na figura, são:

 

Superfície e Volume

Área Lateral: SL = soma das áreas de todas as faces laterais.

Área Total: 

Volume:

 

Seções Transversais e Tronco de Pirâmide

Considere uma pirâmide qualquer de altura h, seccio-nada por um plano paralelo a base e distante d do vértice. O polígono da seção é semelhante à base, sendo a razão de semelhança igual a K = d/h.
Valem as seguintes relações:

 

O volume do tronco de pirâmide de bases paralelas é igual a diferença dos volumes das pirâmides (V – v), ou seja: 

 

 

(UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179m. 

A área da base dessa pirâmide, em m2, é:

a) 13272
b) 26544
c) 39816
d) 53088
e) 79432

 

Solução: Seja L/2 metade do lado do quadrado da base; por Pitágoras temos:
(L/2)2 + 1372 = 1792
L2/4 = 1792 -1372 = (179 + 137).(179 – 137) = 13.273

L2 = 4 x 13.273 = 53088
Letra d)

 

 

(FUVEST) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada.
O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide 3 m.
As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130

 

Solução: Sendo base quadrada, teremos 4 triângulos para calcular a área; precisamos primeiro achar a altura h do triângulo de face. Então por Pitágoras faremos:
h2 = (L/2)2 + H2 = 42 + 32 portanto h = 5

Área Lateral = 4.8.5/2 = 80 m2, que dariam 80 lotes + 10 lotes (perdas) dão total de 90 lotes.
Letra a)