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Resumo de matemática: Análise combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Nesses grupos é possível realizar a análise das possibilidades e combinações.

Caso queira, por exemplo, saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, pode se utilizar das propriedades da análise combinatória.

Uma mulher possui cinco vestidos, quatro shorts, três casacos e cinco pares de sapatos. De quantos modos diferentes ela poderá se vestir?

Esses e outros problemas podem ser resolvidos por meio da análise combinatória. Que se resume em 7 procedimentos principais:

– Princípio fundamental da contagem
– Fatorial
– Arranjos simples
– Permutação simples
– Combinação
– Permutação com elementos repetidos

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)xx3x2x1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Princípio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Arranjos Simples
Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

An,p = n(n – 1)(n – 2) xx(n – p + 1)
Combinações Simples

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.

Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p

e calcula-se por Cn,p = n!
p! (n – p)

n é a quantidade de elementos de um conjunto

p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.

Permutações Simples
A permutação simples pode ser considerada como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão

P = n!.
n! = nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x…..x3x2x1

Por exemplo, 4! = 4x3x2x1 = 24

Permutação de elementos repetidos
Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si.

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P10 = 10! = 3.628.800