Sistemas Lineares – Álgebra Linear

Sistemas 2 x 2
Apresentam duas equações e duas incógnitas, com a seguinte estrutura geral 

Discussão de Sistemas 2 x 2
Cada linha do sistema geometricamente representa uma reta no plano cartesiano. Então podemos ter:

Sistema Possível e Determinado: 

Geometricamente representa retas concorrentes, onde há um ponto (x0, y0) de intersecção que é solução única do sistema.

Sistema Possível e Indeterminado:

Geometricamente representa retas coincidentes, onde infinitos pontos comuns fazem parte do conjunto solu-ção do sistema.

Sistema Impossível:

Geometricamente representa retas paralelas, onde não há nenhum ponto solução do sistema.

(PUC-RJ) Ache os valores de a e b para que o sistema

tenha mais de uma solução.

Sistemas 3 x 3 ou superiores

Sistema Escalonado
É o sistema que satisfaz as duas condições abaixo:

1º) Em cada equação, há pelo menos um coeficiente não-nulo;
2º) O número de coeficientes iniciais nulos aumenta de uma equação para outra.

Procedimentos para escalonar (resolver) o sistema

1º) Coloca-se como 1ª equação do sistema uma equação em que o coeficiente da 1ª incógnita seja um;
2º) A partir da 2ª equação, elimina-se a 1ª incógnita de todas as equações operando entre as linhas; 
3º) A partir da 2ª equação repetem-se os “passos” para as equações restantes, até a última linha do sistema.

Exemplo: Resolva o sistema:

Solução: Aplicamos -2L1 + L2 e -3L1 + L3 para eliminar x da segunda e terceira equações, e -4L2 + 3L3 para eliminar y da terceira equação.

O resultado final é o sistema escalonado   que admite como solução única S = {(2, -1, 3)}.

(FUVEST)

Então, x + y + z é igual a:

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

Solução: Fazendo L1 – L2 na segunda linha e L2 – 3L3 na terceira linha do sistema teremos:

Resolvendo o sistema x = 1, y = 3 e z = -2, com x + y + z = 1 + 3 – 2 = 2 
Letra e)

Discussão de Sistemas 3 x 3
Seja D o determinante da matriz obtida dos coe-ficientes das incógnitas. Então temos:

Sistema Possível e Determinado: det D diferente 0 
Sistema Possível e Indeterminado ou Sistema Impossível: det D = 0

Macete! Caso resolva uma questão de múltipla esco-lha, aplique determinante para discutir o sistema. Caso discursiva, procure usar a técnica do escalona-mento, por ser uma resolução mais “refinada”, e portanto muito mais valorizada pela banca corretora.

Dica! Sistema Homogêneo é quando todos os termos independentes das equações são nulos (todas as equações do sistema terminam em zero).
Um sistema homogêneo nunca será impossível, pois sempre admitirá pelo menos a solução trivial (todas as incógnitas iguais a zero).

Logo, sistema homogêneo ou é possível determinado (apenas a solução trivial) ou é possível indeterminado (tem a solução trivial e mais outras).

(UFJF) O sistema x + y + z = 0; x – my + z = 0; mx + y + z = 0 admite solução não nula se, e somente:

a) m = 1
b) m = -1
c) m = 1 ou m = -1
d) m = 0

Solução: Admitir solução não nula significa possuir soluções além da trivial (0,0,0); logo para sistema possível indeterminado teremos det D = 0; calculando:

 
Letra c)