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Geometria: Polígonos

LÁBARO GEOMÉTRICO. A bandeira brasileira é construída com a combinação de três figuras geométricas básicas: retângulo, losango e círculo.

Desenhados com linhas retas

Polígonos são figuras geométricas que têm lados e vértices.

Ao escolhermos dois pontos de uma reta, A e B, delimitamos um segmento de reta AB, de comprimento limitado.
Screenshot_2Interligando segmentos de retas não alinhados, de dois em dois, cercamos uma região de um plano, definindo um polígono, ou figura plana. Cada segmento de reta corresponde a um lado do polígono. Os lados são representados por letras minúsculas: a, b, c,…

Existem diversas famílias de polígonos, mas vamos nos concentrar nos polígonos fechados e simples – aqueles nos quais as extremidades dos segmentos se encontram, formando os vértices do polígono e no qual os pontos em comum entre dois lados só podem ser os vértices do polígono. Veja os exemplos:
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Um polígono pode ser côncavo ou convexo. Se, ao unirmos dois pontos quaisquer de um polígono por um segmento de reta e parte desse segmento ficar para fora do polígono, então ele é chamado côncavo. Caso não exista a possibilidade de traçar um segmento que fique para fora, o polígono é convexo.
Screenshot_4Se todos os lados e ângulos de um polígono forem congruentes, isto é, se tiverem a mesma medida, então esse é um polígono regular. Por exemplo:
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Duas grandezas podem ser associadas às figuras planas: perímetro e a área. O perímetro é a soma dos comprimentos dos lados. Área é a medida da superfície fechada pelo polígono.
Veja no quadro a fórmula para o cálculo da área dos principais polígonos regulares.
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A BANDEIRA BRASILEIRA

As dimensões da bandeira brasileira seguem proporções rígidas, estabelecidas em lei federal:

  •  Qualquer que seja o tamanho da bandeira, a altura deve ser dividida em 14 partes iguais (módulos). E o comprimento deve ter 20 desses módulos.
  • Os vértices do losango amarelo devem ficar a uma distância de 1,7 módulo da borda verde da bandeira.
  • E o raio do círculo azul é de 3,5 módulos.

Considerando essas relações de proporção, calcule as áreas do retângulo verde, do losango e do círculo em uma bandeira com 7 metros de altura.
Vamos chamar a altura de h, a largura de a e cada módulo de x. Acompanhe o raciocínio na figura:
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Conhecemos a altura h. Então, descobrimos o valor do módulo x:
7 = 14 . x
x = 0,5 m

Agora encontramos as áreas de cada figura:

  • Para o retângulo verde: A = a . h
    Sabemos que o lado a deve corresponder a 20 módulos x. Então:
    a = 20 . x
    a = 20 . 0,5
    a = 10 mA = 7 . 10
    A = 70 m2
  • Para o losango, usamos a fórmula que relaciona as duas diagonais da figura:
    Screenshot_8
    Screenshot_9

Cada diagonal termina 1,7 módulo antes da borda da bandeira. A diagonal maior é calculada em relação ao lado a do retângulo:

Diagonal maior = 10 – 2 . (1,7 . 0,5)
Diagonal maior = 10 – 1,7
Diagonal maior = 8,3 m

A diagonal menor é calculada em relação a altura h:

Diagonal menor = 7 – 2 . (1,7 . 0,5)
Diagonal menor = 7 – 1,7
Diagonal menor = 5,3 m

A área do losango amarelo:

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  •  Para o círculo: A = π . r2 O raio mede 3,5 módulos:
    r = 3,5 . 0,5
    r = 3,5 . 0,5 r = 1,75
    r2 ≈ 3A = 3,14 . 3
    A ≈ 9,4 m2

 

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Não se esqueça: a unidade dos lados é linear – cm, m, km, por exemplo. Já para a área, a unidade é sempre elevada ao quadrado (cm2, m2). É fácil entender por quê: no cálculo da área, multiplicamos sempre duas medidas lineares (lado por lado, diagonal por diagonal etc.). Então, as unidades também devem ser multiplicadas: m . m = m2

 

Tome nota

Base média do trapézio

Questões que envolvem trapézios caem regularmente no Enem e nos vestibulares. Vale a pena você anotar:
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Num trapézio C, chama-se base média a reta paralela às bases que une os pontos médios dos lados. Você deve guardar:

  •  A base média de um trapézio define dois novos trapézios (A e B).
  •  A base média tem comprimento igual à média aritmética das duas bases do trapézio. Em linguagem matemática, c = (a + b)/2
  • As alturas dos trapézios A e B são congruentes e medem metade da altura do trapézio C.

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RELAÇÃO ENTRE ÁREAS

Um modo simples e tradicional de calcular quantas pessoas existem numa multidão é fazer a relação entre áreas. Em uma manifestação popular, as pessoas ocupavam um trecho de 200 metros de uma avenida. A largura da avenida é de 9 metros. Sabendo que cada 2 metros quadrados eram ocupados por, em média, 6 pessoas, quantas pessoas participaram da manifestação?

A questão pede a relação entre áreas. Desenhando a situação, temos:

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A área ocupada pela manifestação é um retângulo de 9 m de largura por 200 m de comprimento. Podemos considerar a largura como a altura do retângulo.
A área de um retângulo é calculada  por A = base . altura. Então:
A = 9 . 200
A = 1 800 m2

Agora, é só verificar a proporção entre a área ocupada por uma pessoa e a área total. Simples regra de três:
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TRIÂNGULOS JUNINOS.As tradicionais bandeiras de quermesse são triângulos isósceles, com dois lados iguais

Poucos lados, muitos usos

O triângulo é o polígono mais simples, mas o mais versátil para diversos cálculos

Três é o número mínimo de lados de um polígono. Então o triângulo é o polígono mais simples. Mas as relações entre seus lados, seus ângulos e com outros polígonos tor- nam essa fgura plana importantíssima. Tanto é que a matemática reserva uma área especialmente dedicada a ela, a trigonometria.
Os triângulos são classificados em diferentes tipos, conforme o tamanho de seus lados . Há, ainda, um triângulo muito especial, o triângulo retângulo, que tem um ângulo de 90o. Um triângulo retângulo pode ser isósceles ou escaleno, jamais equilátero.

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A fórmula geral para a área de um triângulo é:
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em que b é o comprimento da base e h, a altura.

Você não precisa decorar essa fórmula. É só perceber que um triângulo é exatamente a metade de um retângulo ou um losango. Portanto, sua área é sempre a metade da área do retângulo ou losango de medidas correspondentes.

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Área do triângulo retângulo: metade da área de um retângulo
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Área do triângulo escaleno: metade da área de um losango
Screenshot_3Área do triângulo isósceles: metade da área de um losango

A exceção fica para o triângulo equilátero, que tem todos os lados iguais.
Nesse caso, a fórmula da área é:
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em que a é o comprimento de qual- quer um dos lados.

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ÁREA DE TRIÂNGULOS

Uma piscina tem formato de um hexágono regular. A distância entre dois lados para- lelos do hexágono é de 17 metros. Qual a área da piscina? (Considere Screenshot_5

Não é preciso conhecer a fórmula da área do hexágono. Basta raciocinar um pouco. Se traçarmos as diagonais do hexágono, unindo vértices opostos, encontramos seis triângulos equiláteros (três lados iguais). Veja:
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Se os triângulos são equiláteros, então a medida de seus lados é igual à medida de cada um dos lados do hexágono. Conhece- mos a distância entre dois lados opostos do hexágono: 17 m. Então a altura de cada um desses triângulos é Screenshot_2

A fórmula que relaciona a altura à medida dos lados do triângulo equilátero é
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Temos então:
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Então:
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Esta é a medida de cada um dos lados. Aplicando a medida na fórmula da área do triângulo equilátero, temos:
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A piscina é formada por seis triângulos. Portanto, a área total da piscina é A = 6 . 42,5 • A = 255 m2

Triângulo retângulo

Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais:

  • o lado maior é a hipotenusa;
  • os dois lados menores são os catetos.

São os catetos que formam o ângulo de 90o (ou ângulo reto). Veja:
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Este triângulo é retângulo em A – ou seja, o ângulo reto tem vértice em A. Então, chamamos a hipotenusa de a, e os catetos de b e c.

Teorema de Pitágoras

O filósofo e matemático grego Pitágoras desenvolveu um teorema que define a proporção entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo.
Em linguagem matemática, o teorema de Pitágoras diz que:

a2 = b2 + c2

Traduzindo: num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

É fácil entender o que Pitágoras afirma.

O quadrado de um número está diretamente relacionado à área do quadrado de lados com comprimento igual a esse número. Aplicando essa ideia, no desenho de um triângulo retângulo, temos:Screenshot_8

 

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 TEOREMA DE PITÁGORAS

Um triângulo retângulo tem catetos medindo b = 3 e c = 4. Qual a medida da hipotenusa?

Por Pitágoras, a2 = b2 + c2.
Então:
a2 = 32 + 42
a2 = 9 + 16
a2 = 25
a = 5

Tome nota

RELAÇÃO ENTRE BASE E ALTURA

Repare que, para encontrar a área de um triângulo, precisamos conhecer a altura (h) e a medida dos lados. E nem sempre temos todas essas medidas. Nesse caso, a altura é estabelecida em função dos lados. No caso de um triângulo equilátero, a relação entre altura e lado é dada por
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em que a é a medida de um lado.

ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO

Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é 180o.

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Pitágoras no plano cartesiano

O teorema de Pitágoras fornece a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Veja:
Para encontrar a distância entre os pontos P(-2, -1) e Q(2, 2):

Localizando os pontos:
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Repare que temos um triângulo retângulo em R, ponto definido pelo par ordenado R (2,-1). A distância entre P e Q corresponde à hipotenusa.
Conhecemos os pontos ordenados de P e Q. Assim, encontramos a distância entre R e cada um desses pontos, numa simples conta de subtração:

  • Para P e R: 2 – (–2) = 2 + 2 = 4
  • Para Q e R: 2 – (–1) = 2 + 1 = 3

Sabendo a medida de dois catetos, aplicamos Pitágoras:
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Esta é a distância entre os pontos P e Q.

Pitágoras no quadrado

O teorema de Pitágoras nos dá, também, a medida da diagonal de um quadrado. Veja:

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Tome nota

DISTÂNCIA ENTRE PONTOS

A figura abaixo representa a distância entre dois pontos quaisquer P1(x1, y1) e P2(x2, y2), num plano cartesiano:Screenshot_13

Repare que, na vertical, a distância é dada  pelos valores no eixo y, e, na horizontal,  pelos valores no eixo x.
Aplicando Pitágoras, temos:
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Screenshot_1

PITÁGORAS NO QUADRADO

Você não precisa decorar a fórmula para a diagonal de um triângulo. Basta raciocinar sobre o teorema de Pitágoras.
Acompanhe abaixo:

Qual a medida dos lados de um quadrado cuja diagonal mede 49 cm?
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PITÁGORAS NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

O teorema também é útil para encontrar a altura de um triângulo equilátero. Veja que, nesse tipo de triângulo, o segmento de reta que indica a altura (h) corta a base exatamente em seu ponto médio, fazendo com ele ângulos de 90º:

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Repare que construímos dois triângulos retângulos, cujas bases medem x/2
Aplicando o teorema de Pitágoras em cada um desses triângulos, temos:

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RODOPIO ELÍPTICO. No Sistema Solar, a órbita de todos os planetas em torno do Sol segue a forma de elipses, algumas mais, outras menos excêntricas.

AS FIGURAS SEM ARESTAS

Cônicas são curvas que nascem da intersecção de um plano com um cone

Uma casquinha de sorvete é um cone, um sólido geométrico, ou seja, uma figura que tem três dimensões – altura, largura e espessura. Qualquer corte que você faça com um plano nas paredes do cone resulta numa figura plana – uma curva plana chamada cônica. Daí vem a definição de cônicas: são curvas obtidas da intersecção de um plano com um cone.

São cônicas a circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole – cada uma delas com o formato definido pela inclinação em que o plano corta o cone.

Screenshot_1Observe que a curva é alterada dependendo da inclinação do plano que corta o cone:

  • Um plano perfeitamente horizontal produz uma circunferência.
  • Um plano ligeiramente inclinado deforma a circunferência e cria uma elipse.
  • Aumentando-se a inclinação, , a elipse não mais se fecha, e a curva se transforma numa parábola
  • Um plano perfeitamente na vertical cria uma hipérbole.

Todas as cônicas podem ser representadas no plano cartesiano, por um par ordenado (x, y). A relação entre x e y é dada por uma equação. A forma mais comum é a equação reduzida, ou equação geral.

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

A circunferência é uma curva. Não tem área.  O que tem área é o círculo – a região no interior da circunferência. A área  do círculo é dada por
A = π . r²

Circunferência 

É a curva formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de outro ponto – o centro da circunferência.

  • C é o ponto que marca o centro;
  • A distância de qualquer ponto da circunferência a C é o raio (r);
  • Diâmetro é o dobro do raio (2r);
  • O comprimento (ou perímetro) da circunferência é dado pela expressão:
    P = 2 . π . r

A letra grega π é um número irracional, que não pode ser escrito na forma de fração com numerador e denominador inteiros. Para efeito de cálculos, costumamos arredondar o valor de π para 3,14.

Equações da circunferência

Considere uma circunferência com o centro no ponto (0, 0):

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A posição de qualquer ponto Q de uma circunferência é dada por:

xQ2 + yQ2 = r2

Mas o centro da circunferência pode não coincidir com o ponto (0, 0). Considere uma circunferência que tem como centro um ponto qualquer C (a,b), e que passa pelo ponto Q (x,y). A equação reduzida para esse tipo de circunferência, cujo centro não coincide com a origem do sistema cartesiano, é

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Veja abaixo a figura:

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Repare que o cateto horizontal mede (xQ – a). E o cateto vertical, (yQ – b).

Desenvolvendo r2 =  (x – a)2 + (y – b)2, a equação geral das circunferências fica assim:
r2 = x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2

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EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA

Qual o raio da circunferência com centro no ponto C (0, – 5) e que passa pelo ponto
P (-2, -5)?

Simples aplicação da equação:

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Defina as equações reduzida e geral dessa circunferência.

Para encontrar as equações de uma circunferência, basta conhecer a medida do raio e as coordenadas do centro. Sabemos que o raio é 2 e que seu centro é C (0, -5). É só aplicar esses valores nas duas equações.

Na equação geral:
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Na reduzida:
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No plano cartesiano:

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Inscrição e circunscrição

Circunferências inscritas em polígonos são aquelas dentro de um polígono, tocando todos seus lados. Circunferências circunscritas são aquelas que estão do lado de fora do polígono, passando por todos os seus vértices. Todos os polígonos regulares (de lados congruentes) podem ter circunferências inscritas e circunscritas. Os raios das circunferências se relacionam com as medidas dos polígonos. Veja:

Quadrado

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Na figura acima:

  • O polígono regular é um quadrado;
  • O quadrado está inscrito em uma circunferência e circunscreve outra,  de raios ri e rc diferentes;
  • O ponto C é o centro do quadrado e das duas circunferências;
  • O  ponto M é o ponto médio do lado do quadrado.

Para a circunferência inscrita:

  • Ela toca o lado do quadrado no ponto médio de cada um dos lados do quadrado;
  • O raio ri é a distância do centro ao ponto médio do polígono (CM). Essa distância se chama apótema (segmento de reta que une o centro a um dos lados de um polígono re- gular, sempre perpendicular a ele). O apótema sempre une o centro ao ponto médio do lado. Então, sabemos que ri = a/2

Para a circunferência circunscrita:

  • Ela toca os vértices do quadrado;
  • Encontramos rc aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por dois lados do quadrado e sua diagonal. E essa diagonal corresponde ao diâmetro da circunferência (2 . rc). Veja:

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Triângulo equilátero

A circunferência inscrita toca os três lados do triângulo. A circunscrita toca seus três vértices.

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O raio da circunferência inscrita (ri ) equivale à distância do centro C ao ponto médio do lado do triângulo. Chegamos às medidas de ri e rc também por Pitágoras. Não é importante que você veja a demonstração. Pode apenas guardar as equações:

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Basta observar as duas equações para concluir que rc = 2 . ri

Hexágono regular

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Também neste caso, você não precisa da demonstração. Pode apenas guardar as equações:
Para a circunferência inscrita,
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Para a circunferência circunscrita,
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Polígonos inscritos

Um quadrado e um triângulo equilátero estão inscritos em uma circunferência. Calcule o comprimento dos lados do triângulo equilátero, sabendo que a área do quadrado é 100 cm².
Primeiro, preste atenção no enunciado, para não se confundir: se os polígonos estão inscritos, então a circunferência está do lado de fora, circunscrevendo os polígonos. A situação descrita é esta:
Screenshot_1O enunciado informa que a área do quadra- do é A = 100 cm2.
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O raio da circunferência que circunscreve um quadrado é dado por:
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Esta circunferência circunscreve também o triângulo equilátero. A equação que relaciona o lado do triângulo com rc é:

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Elipse

Numa definição informal, elipse é uma circunferência deformada. Veja as relações entre os elementos de uma elipse:
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O é o centro da elipse
A1A2 é o eixo maior da elipse
B1B2 é o eixo menor da elipse
F1 e F2 são os focos da elipse

A distância entre o ponto A1 e o centro O é sempre igual à distância do ponto A2 ao centro O.
Se chamarmos essa distância de a, temos que A1A2= 2 . a
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A distância entre F1 e F2 e o centro O é sempre igual e se chama (c).

Como F1O = F2O, então a distância entre F1 e F2 = 2 . c  (distância focal)Screenshot_7

A distância entre o ponto B1 e o centro é sempre igual à distância entre o ponto B2 e o centro. Então, a distância entre B1 e B2 = 2 . b

Screenshot_8As distâncias de um ponto qualquer da elipse a F1 e F2, somadas, é um valor constante.

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dP1 + dP2 = dQ1 + dQ2

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EQUAÇÃO DA ELIPSE

Escreva a equação reduzida desta elipse.

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Identificamos os principais pontos da elipse.
Screenshot_11Repare que C não coincide com a origem do sistema (0,0). Nesse caso, temos de considerar a diferença entre as coordenadas. Chamando as coordenadas de C de m e n, temos:
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Substituindo os valores de m e n, encontramos a equação da elipse dada:
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Se a elipse for vertical, a equação muda:
Screenshot_2Agora o eixo maior (2a) está na vertical (ou seja, sua medida é dada pelo eixo y). Então os denominadores da equação mudam de lugar:
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Substituindo os valores, novamente, temos:
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A elipse no plano cartesiano

Como a circunferência, uma elipse também pode ser desenhada num plano cartesiano, ou seja, sobre os eixos x e y:
Screenshot_5Se a elipse tiver o centro na origem do sistema cartesiano – ou seja, nas coordenadas (0, 0) –, cada ponto da curva é definido pela equação:
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  • x e y são as coordenadas de um ponto qualquer P;
  • m e n são as coordenadas do centro da elipse: O (m,n);
  • a é metade do eixo maior e b, metade do eixo menor.

Essa equação descreve uma elipse cujo eixo maior está na horizontal. Para obter a elipse com eixo maior na vertical, basta trocar a e b de lugar na equação:
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Excentricidade

A excentricidade (e) de uma elipse é a razão entre a distância focal (2c) e o tamanho do eixo maior (2a). Em linguagem matemática:
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A excentricidade é sempre um número positivo, que varia de zero a um (0 ≤ e < 1).
Isso porque c é sempre maior ou igual a zero (c ≥ 0) e sempre menor que a (c < a).
Screenshot_10Screenshot_11Screenshot_12Screenshot_13Screenshot_14

Parábola

A parábola é a curva definida por pontos para os quais a distância de uma reta diretriz é igual à distância do ponto foco (F). Veja na figura:
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  • A reta azul é a diretriz
  • F é o foco da parábola
  • V é o vértice
  • Os valores x1 e x2 correspondem aos pontos em que a parábola corta o eixo x.
  • P é um ponto qualquer da parábola
  • As distâncias de P ao foco e de P à diretriz são iguais: d1 = d2.
  • O eixo de simetria é a reta que passa pelo foco e pelo vértice.

As parábolas são as curvas características dos gráficos das funções do 2º grau, ou seja, das funções cuja expressão tem a forma geral y = ax² + bx + c.

Hipérbole

A figura abaixo é uma hipérbole – uma curva de dois ramos, virados para lados opostos.Screenshot_1
Acompanhe na figura:

  •  O ponto C é o centro da hipérbole. Neste caso, C coincide com a origem do sistema cartesiano:
    C = O = (0,0);
  •  F1 e F2 são os focos da hipérbole;
  • A  distância entre F1 e F2 é a distância focal da hipérbole e vale 2c;
  • Os pontos A1 e A2 são os vértices da hipérbole;
  • O segmento A1A2 é chamado eixo real da hipérbole, e vale 2a;
  • O segmento B1B2 é o eixo conjugado da hipérbole, e vale 2b;
  • Um ponto qualquer P da hipérbole tem distâncias d1 e d2 dos focos F1 e F2. A hipérbole é formada por pontos tais que a diferença entre as distâncias d1 e d2 é constante, em módulo.

Quando o centro da hipérbole coincide com a origem do sistema cartesiano, a equação reduzida é:
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em que x é a coordenada do ponto P no eixo x, e y, a coordenada de P no eixo y.

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LUZES PARABÓLICAS. Os fogos de artifício fazem no céu curvas que lembram parábolas

 

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ÓRBITA ELÍPTICA

A órbita de asteroides e cometas em torno do Sol é elíptica, como a dos planetas. E a velocidade desses corpos varia conforme o ponto da elipse em que se encontram. Foi o alemão Johannes Kepler quem descobriu isso, no início do século XVII. Até então, imaginava-se que as trajetórias descritas pelos planetas, asteroides e cometas tivessem a forma de circunferência.
Kepler não percebeu apenas que a órbita dos planetas é elíptica. Ele também notou que a velocidade de cada corpo celeste varia ao longo dessa trajetória.
Kepler observou que o Sol não se encontra no centro da elipse, mas em um de seus focos. Assim, os planetas estão ora mais próximos, ora mais distantes dele. E, quanto mais próximo, mais rápido o planeta viaja. Essa variação de velocidade obedece à 2ª Lei de Kepler, ou Lei das Áreas. Segundo ela, “a linha que une um planeta ao Sol atravessa áreas iguais em intervalos iguais de tempo”. Veja abaixo o que significa a Lei das Áreas, de Kepler.

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A maioria dos planetas segue órbita de excentricidade muito próxima de zero – ou seja, órbitas quase circulares. Mercúrio é o de órbita mais excêntrica, com excentricidade pouco maior que 0,2. Para a Terra, a excentricidade é de 0,017 e para Vênus, 0,007.
Mas alguns corpos que circundam o Sol têm excentricidade muito maior. O cometa Halley, que passa por aqui a cada 75 anos, descreve uma curva com excentricidade de 0,97.

Geometria em 3D

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EDIFÍCIOS SÓLIDOS. Prédios modernos, como este, da Biblioteca Central de Seattle, nos Estados Unidos, exploram a combinação de figuras sólidas, como prismas

 

Os polígonos, você lembra, são figuras de duas dimensões, relacionadas aos lados e à altura, que permitem calcular sua área. Já as figuras tridimensionais, chamados sólidos geométricos, têm três dimensões: altura, comprimento e largura. Com essas medidas encontramos o volume de um prisma – ou seja, o espaço que ele encerra.

Tipos de sólidos

Os sólidos geométricos são divididos em duas grandes famílias:

  • poliedros, construídos com faces que têm formato de polígonos;
  • corpos redondos, que, se cortados, podem mostrar uma circunferência (ou um círculo) como seção.

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Poliedros

Os poliedros têm, pelo menos, quatro faces. Os polígonos que formam os lados das faces do poliedro compartilham lados entre si, formando as arestas. Os pontos onde três ou mais arestas se encontram são os vértices do poliedro.

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Os poliedros regulares são aqueles formados exclusivamente por polígonos regulares, ou seja, polígonos com lados iguais. Além disso, os poliedros regulares são formados por polígonos de mesmo formato e com o mesmo número de lados: só quadrados, só triângulos equiláteros ou só pentágonos regulares.
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Prismas

São poliedros em que duas das faces, de for- mato idêntico, se encontram em planos paralelos. Se os polígonos das bases forem polígonos regulares, isto é, polígonos com todos os lados de mesma medida, então o prisma é chamado de prisma regular

Um prisma pode ser reto ou oblíquo:
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Tome nota

RELAÇÃO DE EULER

Todo poliedro convexo obedece à relação de Euler, que define o número de vértices (V) e faces (F) em função do número de arestas (A):
V + F = A + 2

Na prática

ÁREA DE PRISMA

Qual é a área total de um prisma regular, reto, de bases quadradas, com altura de 10 cm e aresta das bases de 3 cm? 

Se o prisma é regular, então os lados da base são iguais: as base são quadrados.

Se o prisma é reto, então as faces laterais são per- pendiculares às bases. Este é o prisma:
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A área de um prisma regular e reto é:
Atotal = Abases + Afaces
Cada base é um quadrado.
Então, Abases = a2
Cada face é um retângulo.
Então, face = a . h

Preste atenção: você tem de levar em conta que o prisma tem duas bases e quatro faces:
Então, Atotal = 2 . 3 . 3 + 4 . 3 . 10
Atotal = 18 + 120
Atotal = 18 + 120

Os prismas também podem ser classificados conforme o tipo de polígonos das bases:
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A área total de um prisma é a soma das áreas dos polígonos que formam as faces laterais e a área das bases.

Atotal = Abase + Afaces

As medidas das áreas laterais são sempre áreas de quadriláteros (polígonos de quatro lados). Se o prisma for reto, as faces laterais são retângulos.

Tome nota

O cubo é o prisma regular e reto mais simples que existe. Um cubo tem seis lados, todos quadrados.

Paralelepípedo reto-retângulo

Uma caixa de leite é um paralelepípedo reto-retângulo: um prisma reto de bases quadradas. É importante saber calcular a medida das diagonais desse tipo de paralelepípedo. Veja:
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  • A face ABCD é um retângulo;
  • Esse retângulo tem uma diagonal f, chamada diagonal da face;
  •  Encontramos a medida de f aplicando o teorema de Pitágoras sobre as medidas dos lados a e b desse retângulo:
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  • segmento que une vértices em faces de planos paralelos (d) é a diagonal do paralelepípedo. Seu comprimento, em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo, também pode ser determinado pela aplicação do teorema de Pitágoras, agora no triângulo DBD’:
    d² = f² + c²
    Screenshot_14

Essa é a fórmula para encontrar a diagonal de um paralelepípedo reto- retângulo de dimensões a, b e c.

Pirâmides

Pirâmide é o sólido que tem uma única base, formada de um polígono qualquer, e faces laterais na forma de triângulos com um vértice em comum.
Uma pirâmide também pode ser reta ou oblíqua.
Screenshot_1
Pirâmides que têm como base um polígono regular (de lados de mesma medida) são chamadas pirâmides regulares.
Se a pirâmide for regular e reta, então os triângulos das faces laterais serão isósceles, ou equiláteros (no caso de triângulos de lados de mesma medida).
Como ocorre com qualquer sólido, o cálculo da área total de uma pirâmide é a soma das áreas da base e de cada face, no caso, cada triângulo:
Atotal = Abases + Afaces

Na prática

ÁREA DE PIRAMIDE

Calcule a área total de uma pirâmide reta, de base quadrada, com  8 cm de aresta da base e 3 cm de altura. Desenhando a pirâmide:
Screenshot_2
Atotal = Abase + Afaces
A base é um quadrado de 8 cm de lado. Então,
Abase = 8 . 8 = 64 cm2

As faces são quatro triângulos isósceles.
Lembrando a fórmula da área de triângulos, temos:
Screenshot_3
Sabemos que a base mede 8 cm (a mesma medida de um lado da base). Mas atenção: a altura da pirâmide não é a altura dos triângulos (que estão inclinados).
Calculamos essa altura com um truque: criamos um novo triângulo no qual um dos lados é o eixo central da pirâmide, do centro da base até o vértice (CV).
E os dois lados são os pontos CM e MV. Veja:
Screenshot_4
Para o triângulo CMV, sabemos que CV = hpirâmide = 3 cm
Repare que o lado CM do triângulo vale metade de um lado da base:
Screenshot_5
Repare, também, que o triângulo CMV é um triângulo retângulo. Então podemos aplicar o teorema de Pitágoras e descobrir a medida do lado VM, a hipotenusa desse triângulo:
Screenshot_6
Esta, sim, é a altura de cada triângulo das faces da pirâmide. Agora podemos calcular a área dos triângulos isósceles, pela fórmula da área de qualquer triângulo:
Screenshot_7
Como a pirâmide tem quatro triângulos nas faces, a área das faces soma 4 . 20 = 80 cm2.
Voltando ao início da resolução, a área total da superfície da pirâmide é a soma da área da base e as áreas das faces:
Atotal = Abase + Afaces • Atotal = 64 + 80 = 144 cm2

CILINDRO

Numa definição informal, cilindro é o sólido geométrico com duas bases paralelas e circulares.
Screenshot_1
Cilindros cujas paredes laterais são perpendiculares à base são chamados cilindros retos. Caso contrário, temos um cilindro oblíquo.
Screenshot_2

Um plano pode cortar um cilindro de diferentes maneiras. Se o corte se der por um plano paralelo às bases, a chamada seção transversal será um círculo.
Screenshot_3
Se o plano for perpendicular às bases e passar pelo eixo do cilindro (seção meridiana), a seção é sempre um paralelogramo. Se o cilindro for reto, a seção meridiana terá a forma de um retângulo.
Screenshot_4
Como nos demais sólidos, a área total de um cilindro é a soma das áreas das bases e da lateral. Fica fácil entender como se calcula essa área com a planificação do cilindro. Planifcar signifca “abrir” o sólido em suas componentes planas. Veja o formato que um cilindro planificado tem:
Screenshot_5
Repare que o cilindro é formado pela associação de dois círculos e um retângulo.
Sabemos que:
Atotal = Abases + Alateral

  • A área de cada base é a área do círculo de raio r: A = π . r2. Como existem duas bases,
    Abases = 2 . π . r2
  •  A área lateral é a área de um retângulo no caso de um cilindro reto (ou de um paralelogramo, no caso de um cilindro oblíquo).

Um dos lados do retângulo corresponde à altura do cilindro: h.
A medida do outro lado é exatamente a circunferência do círculo da base. Lembrando que o comprimento de um círculo é dado por C = 2 . π . r.

Então, a área lateral é dada por:
Alateral = 2 . π . r . h

Então a área total de um cilindro é:
Atotal = Abases + Alateral
Atotal = 2 . π . r2 + 2 . π . r . h
Atotal = 2 . π . r . (r + h)

Cone

Existem dois tipos de cones: o cone reto tem o eixo perpendicular à base. Quando o eixo é inclinado, temos um cone oblíquo.
Screenshot_6
Quando um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base (seção transversal), a visão que se tem é a de um círculo.
Screenshot_7
A figura abaixo mostra um cone planificado.
Screenshot_8
A base do cone é um círculo cuja circunferência mede 2πr. Assim, a área da base é a área de um círculo:
Abase = π . r2

Na lateral, a letra g representa um segmento de reta qualquer que liga um ponto da circunferência da base do cone a seu vértice. A superfície lateral do cone, planificada, é um setor circular – uma parte de um círculo, como um pedaço de pizza, de raio g.
O setor circular tem comprimento igual à circunferência da base (2πr). A área lateral do cone é dada por
Alateral =π.r.g

E a área total é a soma das duas áreas:
Atotal = π.r.g + π.r2 = π.r (g + r)

Volume de sólidos

O volume de prismas e cilindros é dado por:
V = Abase . h

O volume de pirâmides e cones é uma fração do volume de prismas e cilindro.
Dois sólidos têm volumes equivalentes desde que tenham mesma altura e formato e têm volumes iguais se as bases tiverem a mesma área. O volume de um cone reto é igual ao de um cone oblíquo, desde que sua altura seja a mesma e sua base tenha a mesma área. O mesmo vale entre cilindros retos e oblíquos e prismas retos e oblíquos. Fica mais fácil entender vendo a figura:
Screenshot_10
Têm volumes iguais, também, dois sólidos de diferentes formatos, desde que eles apresen- tem a mesma altura, a mesma área na base e, também, a mesma área numa seção transversal cortada à mesma altura. Este é o princípio de Cavalieri. Veja:
Screenshot_11
Tome nota

Volume da pirâmide e do cone

Uma pirâmide tem um terço do volume de um prisma com a mesma base e mesma altura. Portanto, o volume da pirâmide é dado por

Screenshot_12

A mesma relação é válida entre o cone e o cilindro:
V = 1/3 . π . r2 . h

Na prática

ÁREA E VOLUME DO PRISMA

Uma caixa de 1 litro é um prisma reto, de bases quadradas e faces laterais retangulares. Sabendo que as bases têm lado igual a 5 cm, quais as dimensões de cada retângulo das faces laterais?

Este é o formato da caixa:
Screenshot_1

Se as bases são quadradas, a área de cada uma delas é a área de um quadrado:
Abase = 5 . 5
Abase = 25 cm2

O volume, sabemos, é 1 litro.
Convertendo litro para cm3: 1 L = 1000 cm3
Substituindo esses valores na fórmula para volume, temos:

V = Abase  . h
1 000 = 25 . h
h = 1 000 / 25
h = 40 cm

Então, os retângulos que formam as laterais têm 40 cm de altura por 5 cm de largura.

E qual a área superficial total do prisma?
Basta somar as áreas de cada polígono das bases e das laterais:

Para a área de cada uma das bases quadradas:
A = a . a
A = 5 . 5
A = 25

São duas bases, então a área total das bases é 50 cm2.

Para a área lateral:
A = base . altura = 5 . 40 = 200 cm2

Se a base é quadrada, então só podem existir quatro retângulos.
A área total deles é: 4 . 200 = 800 cm2

Por fim, somando a área das bases e das laterais, temos:
Atotal = 50 + 800 = 850 cm2

Na prática

EQUIVALÊNCIA DE VOLUMES

Dois sólidos geométricos, um prisma de base hexagonal e um cilindro, têm o mesmo volume. Além disso, ambos têm a mesma altura. Se a aresta da base do prisma mede 10 cm, qual é a medida do raio da base do cilindro?
Screenshot_2

Sabemos que dois sólidos têm volume igual desde que suas alturas e bases sejam iguais. O hexágono (base do prisma) tem área equivalente a 6 triângulos equiláteros de lados 10 cm. Sua área, portanto, é:
Screenshot_3
Se o círculo (base do cilindro) tem essa área, é fácil encontrar o tamanho do raio:
Screenshot_4

Na prática

 

VOLUME DA PIRÂMIDE

Calcule o volume de uma pirâmide regular, de base hexagonal, com arestas da base medindo 5 cm e altura 10 cm. Primeiro, vamos calcular a área do hexágono da base. Um hexágono regular é formado por seis triângulos de lados iguais. Neste caso, o lado de cada triângulo vale 5 cm. Sabemos também que a área do triângulo equilátero em função do lado é dada por:
Screenshot_5
Se o hexágono tem seis triângulos, então,
Screenshot_6
O volume da pirâmide é um terço do volume de um prisma de mesma base e mesma altura:
Screenshot_7
Portanto,
Screenshot_8

 

 

 

 

 

 

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