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Trigonometria: Triângulos e circunferência

ESCALA DA POLUIÇÃO. Engenheiros associam cores e trigonometria para avaliar o volume de petróleo vazado de uma plataforma marítima.

 

A circunferência trigonométrica facilita os cálculos que envolvem ângulos de triângulos retângulos

O triângulo e suas medidas são úteis em diversas áreas do conhecimento, além do cálculo de alturas e altitudes. Na arquitetura, para definição de dimensões como altura de um edifício; na cartografa, para o desenho, em escala, de mapas; e na astronomia, para cálculo de distâncias e posições relativas dos astros.

As relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de triângulos retângulos são úteis, também, para engenheiros ambientais. No caso de um vazamento de petróleo em mar, por exemplo, é possível usar a relação entre ângulos de um triângulo na avaliação do volume vazado, com fotos batidas de satélites ou aviões. O óleo vazado adquire tonalidades mais escuras e mais claras, conforme a espessura da camada sobre a água. Os engenheiros conhecem a relação entre tom e espessura. Assim, avaliando a área correspondente a cada tom, fica fácil medir o volume total.

A partir daí entra a trigonometria: a área captada pela foto é proporcional à área real da mancha, no mar. O cálculo dessa proporção envolve conceitos como semelhança de triângulos e relações trigonométricas.

Triângulos semelhantes

Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos e lados correspondentes mantêm uma razão de proporção. Ângulos correspondentes são aqueles que ocupam a mesma posição em relação aos lados de um triângulo. Lados correspondentes são aqueles que ocupam a mesma posição em relação aos ângulos. Então, em triângulos semelhantes os ângulos e lados correspondentes são proporcionais. Por consequência, as áreas dos triângulos também são proporcionais.

Acompanhe o raciocínio observando a figura abaixo:

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É fácil perceber que os triângulos ABC e A’B’C’ são parecidos. Eles são triângulos semelhantes por duas razões:

  • • Seus ângulos correspondentes são congruentes (têm medida igual). Na figura, o ângulo α é correspondente de α’, β é correspondente de β’ e γ, de γ ’.
  • Seus lados correspondentes são proporcionais. Na figura, você observa:
    • o lado AC é correspondente de A’C’
    • o AB é correspondente de A’B’
    • o lado BC é correspondente de B’C’.

 

Razão de semelhança

Ainda observando os dois triângulos, repare que o lado AB mede 6 unidades (6 quadradinhos). E seu correspondente A’B’ mede 3 unidades. A razão de semelhança entre esses lados correspondentes, então, é

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A razão se mantém para os demais pares de lados correspondentes:

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Dizemos, então, que o triângulo AB está para A’B’ na escala de 2 para 1 (em notação matemática, 2 : 1). É esse tipo de escala que permite que se mantenham as proporções em mapas – e que  se saiba com bastante precisão o real tamanho da mancha de petróleo no Golfo do México.

Triângulos semelhantes também têm áreas semelhantes. Se a razão de semelhança entre os lados vale k, a razão entre as áreas é k2.

A razão de semelhança se mantém também para as demais medidas lineares do triângulo. Entre alturas:

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Triângulos semelhantes sempre têm três ângulos congruentes. Acompanhe na figura abaixo o que acontece quando essa semelhança ocorre entre dois triângulos retângulos (aqueles que têm um ângulo de 90°):

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Veja que os triângulos ABC e A’B’C têm um ângulo de 90° (em B e B’).

Os dois também têm um vértice em comum (C). Então, os ângulos definidos por esse vértice em cada triângulo são congruentes.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Então, se os dois primeiros ângulos são congruentes, o último também será congruente. Conclusão: os triângulos ABC e A’B’C são semelhantes.

A trigonometria é uma ferramenta para calcular medidas e proporções entre triângulos retângulos. A base para isso é a circunferência trigonométrica.

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Observe que:

  • A circunferência é desenhada sobre um plano cartesiano (eixos x e y);
  • O eixo x corresponde à medida do cosseno (cos);
  • O eixo y corresponde à medida do seno (sen);
  • O centro da circunferência está sobre o ponto O, de coordenadas (0,0);
  • O raio da circunferência é uma unidade;
  • O segmento em azul é a tangente do  ângulo α (tg α);
  • A  circunferência é dividida em quatro quadrantes (I, II, III, e IV);
  • Os graus são lidos a partir da direita, no sentido anti-horário: 0°, 90°, 180°, 270° e 360°.

Podemos desenhar na circunferência ângulos de 0° a 360° e obter o valor das razões trigonométricas. Acompanhe atentamente na figura:

  • O segmento OA é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelos pontos OAP;
  • O raio da circunferência é uma unidade. Então, o segmento OA (a hipotenusa) vale uma unidade;
  • A hipotenusa forma com o lado positivo do eixo x um ângulo α;
  • O ponto A tem coordenadas (x, y). O o eixo x é o eixo dos cossenos e o y, eixo dos senos. Então, as coordenadas de um ponto qualquer A são (cos α, sen α). Esta relação vale para qualquer ponto da circunferência.

 

Os quadrantes

Dependendo do quadrante em que o ponto A se encontra, os valores do seno, cosseno e tangente serão positivos ou negativos. Acompanhe:

Quando o ponto A está no quadrante I, o ângulo α terá valor entre 0° e 90°. Veja que, nessa faixa de ângulos, todos os valores de x e y são positivos. Portanto, o seno, o cosseno e a tangente de ângulos no quadrante I são positivos. E os valores do seno, do cosseno e da tangente serão positivos:

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Se o ponto A estiver no quadrante II, o ângulo α terá como medida um valor entre 90° e 180°. Veja na figura abaixo: o valor de y (seno) é positivo, mas x (cosseno) é negativo; a tangente, portanto, também é negativa:

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Para um ponto A que esteja no quadrante III, o valor de α ficará entre 180° e 270°. O seno e o cosseno serão negativos. A tangente será positiva:

Finalmente, para um ponto que esteja no quadrante IV, α estará entre 270° e 360°. Nesse caso, o cosseno é positivo e o seno e a tangente, negativos:

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Pitágoras e a trigonometria

Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras num triângulo desenhado no 1° quadrante da circunferência trigonométrica, teremos:

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  • Os dois catetos do triângulo AOP são os valores de seno e cosseno do ângulo α;
  • A hipotenusa, que é o raio da circunferência trigonométrica, tem medida 1.

Então sen2 α + cos2 α = 1

Esta é a chamada relação fundamental da trigonometria.

Ainda no triângulo AOP, podemos calcular a tangente do ângulo α e obter outra relação:

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Razões trigonométricas em um triângulo retângulo

Com a trigonometria, estabelecemos as razões de semelhança entre triângulos retângulos, associando a medida dos lados à circunferência trigonométrica.

As razões trigonométricas são definidas com base nas relações entre as medidas dos lados do triângulo e têm como referência os ângulos.

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Simetria na circunferência trigonométrica

Podemos calcular o valor para um ângulo α de qualquer quadrante trabalhando apenas com ângulos do quadrante I. É que qualquer ponto da circunferência tem três pontos simétricos em relação aos eixos cartesianos nos outros três quadrantes. Veja:

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Os pontos A, A’, A’’ e A’’’ são simétricos em  relação aos eixos cartesianos. Traduzindo: as coordenadas desses pontos têm os mesmos valores absolutos. A única diferença são os sinais, que variam conforme o quadrante. Portanto, os ângulos definidos por esses pontos têm seno e cosseno iguais, só variando os sinais, conforme o quadrante.

Essa simetria é muito útil quando precisamos trabalhar com triângulos que contenham um ângulo maior que 90°.

Ângulos complementares  e suplementares

Ângulos complementares são dois ângulos (α e β) que, somados, resultam em 90°. Ângulos complementares apresentam algumas propriedades:

Se α + β = 90°, então:

  • sen α = cos β 
  • cos α = sen β 
  • • tg α = 1/tg β 

Os ângulos α e β são suplementares quando sua soma resultar em 180°.

Se α + β = 180°, então:

  • • sen α = sen β
  • • cos α = –cos β
  • • tg α = –tg β

 

Lei dos senos e cossenos

Para triângulos que não são retângulos (chamados acutângulos ou obtusângulos), duas outras relações são muito importantes. São as leis dos senos e dos cossenos.

Observe o triângulo obtusângulo abaixo:

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A lei dos senos estabelece que:

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E a lei dos cossenos, que:

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Repare que, nesta formulação, α é o ângulo oposto ao lado a. Da mesma maneira, podemos estabelecer a lei dos cossenos para os demais ângulos:

b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos β , em que β é o ângulo oposto ao lado b;
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos γ , em que γ é o ângulo oposto ao lado c.

Num triângulo qualquer, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado tem valor igual ao diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo. O diâmetro é d = 2 . r

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Então, na lei dos senos, temos que

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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 

Considere o triângulo retângulo ABC, abaixo, de catetos  medindo 4 e 6 unidades e o ângulo reto em C. Qual a medida dos ângulos  α e β?
Dados:
Desenhando a situação descrita:

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Por Pitágoras, encontramos o valor da hipotenusa (c):

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Existe um único ângulo que combina esses valores de seno, cosseno e tangente. Consultando uma tabela de valores trigonométricos, ou utilizando uma calculadora científica, descobrimos que α mede, aproximadamente, 34°.

Os três ângulos internos de um triângulo somam 180°. Um desses ângulos mede 90°; outro, 34°. Então, o terceiro ângulo (β) mede: 180° – 90° – 34° + β = 56°.

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ÂNGULOS MAIORES QUE 360°

Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 1 230°.

O ângulo de 1 230° é bem maior que os 360° de uma volta completa na circunferência. Para verificar essa diferença no tamanho, dividimos 1 230 por 360:
1 230 : 360 = 3,41…

Então, 1 230° correspondem a mais de três voltas na circunferência.

Três voltas na circunferência são 360° . 3 = 1080°

Quanto falta ainda para chegar aos 1 230°? 1 230 – 1 880 = 150°

Então, o seno, o cosseno e a tangente de 1 230° são iguais ao seno, ao cosseno e à tangente de 150°.

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A tangente é calculada dividindo-se o seno pelo cos:

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