Geometria: Como cai na prova

1. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro

a) é reduzido em 50%.
b) aumenta em 50%.
c) permanece o mesmo.
d) é reduzido em 25%.

2. (UFG 2014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrado à cinta para rebocá-lo.

MAT - pag 58-01

Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada.

3. (UFM 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.
MAT - pag 58-02
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de

a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.

RESOLUÇÃO

1. O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base e sua altura. A base do cilindro é um círculo. Então:

V_cilindro = Área_base . altura = π . r² . h

Vamos calcular o volume do novo cilindro seguindo as informações do enunciado.

• O raio da nova base foi reduzido à metade do raio original. Então a área dessa
base nova é

A_base = π . (r/2 )²

• A altura foi duplicada (2 h). Então, o volume é dado por:
V_{novo cilindro} = π . (r/2 )² . 2h = π . r²/4 . 2h

Rearranjando a expressão, ficamos com
V_{novo cilindro} =1/2 πr² . h

Comparando esse resultado com o volume do primeiro cilindro (V = π . r² . h), concluímos que o novo cilindro tem a metade do volume do original.
Resposta: A

2. Vamos dividir o bloco de gelo em quatro partes: três paralelepípedos e um prisma, todos eles com a mesma altura, 12 metros. Para isso, vamos dividir a face do iceberg que vemos de frente na figura em três retângulos e um triângulo:

MAT - pag 58-03

Tanto para um paralelepípedo quanto para um prisma, o volume é dado pelo produto entre a área da base pela altura. Usando a área de cada retângulo e triângulo encontrados na figura, temos:

V_iceberg = [(18 . 40)] + (18 . 16) + (34 . 16) + (34 . 40)/2] . 12
V_iceberg = (720 + 288 + 544 + 680). 12
V_iceberg = 2 232 . 12 = 26 784 m³

Este é o volume do iceberg inteiro, antes da viagem. Depois de transportado, o enunciado informa que ele perde 10% de seu volume. Então, o volume que chega ao destino é:
V_final = 26 784 – 2 678,4 = 24 105,6 m³
Resposta: 24 105,6 m³

4. Uma elipse com centro na origem de um sistema cartesiano e com eixos maior e menor nas direções vertical e horizontal respectivamente, tem equação reduzida

x²/a²+y²/b²= 1

Sendo a e b a metade dos comprimentos dos eixos maior e menor, respectivamente. Sendo assim, na elipse do problema, temos que

2 . a = 20 e 2 . b = 16.

Observe a figura abaixo. Nela está representada uma elipse com centro na origem de um sistema de eixos cartesianos. Seus pontos principais foram nomeados e destacados: os focos (F₁ e F₂ ) e os pontos em que a elipse cruza o eixo x (A₁ e A₂ ) e o eixo y (B₁ e B₂ ). Também foi representado o ponto P, pertencente à elipse, e localizado propositalmente numa das extremidades do eixo menor, coincidindo, portanto, com o ponto B₁ .

MAT - pag 58-04

Lembre-se: numa elipse, a soma das distâncias entre um ponto P qualquer ao foco F₁ e dele ao foco F₂ é constante. Esse valor constante é numericamente igual ao comprimento do eixo maior da elipse, que corresponde à medida 2a.

Chamando a distância de d, temos então que

d (PF₁ ) + d (PF₂ ) = 2 a.

Voltemos à figura. Repare que o triângulo F₁PF₂ é isósceles. Então, os segmentos PF1 e PF2 são congruentes.

Sabemos que d (PF₁ ) = d (PF₂ ), então d (PF₁ ) = d (PF₂ ) = a.

Além disso, com o ponto P localizado sobre o eixo y, os triângulos OPF1 e OPF2 são triângulos retângulos. Então, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para descobrir o comprimento dos lados:

a² = b² + c² em que c é metade da distância focal.

Substituindo os valores da elipse em questão, temos:
10² = 8² + c²
c² = 100 – 64 = 36
c = 6

Temos todos os elementos para a resposta:

• A distância entre os focos é de 12 m (2c);
• Se o eixo maior mede 20 m, então entre cada foco e os pontos da elipse mais próximos na horizontal, a distância é (20 – 12) : 2 = 4 m
• Se o tamanho da sala é de 22 m por 18 m, então a elipse está afastada em 1 m de cada parede. E a distância de cada foco à parede mais próxima é de 5 m.
Resposta: C